理系なのでlogの微分に答えてみる

数学


太宰はメロスと人間失格とタイトル失念したのですが何やら老爺がエロ人生語りをしてくれた話しか読んでいません。
人間失格はなんか読んでて気持ち悪かったのを覚えていますし、メロスも経緯を考えると好きになれないので太宰で好きな咲く火といえるものは特にないですね。

理系なのでlogの微分でもしようかと。
まずは微分の定義から。
{\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}
\frac{d}{dx}\log(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log(x+\Delta x)-\log(x)}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x}\left(\log(x+\Delta x)-\log(x)\right)
=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x}\log(\frac{x+\Delta x}{x})
=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x}\log(1+\frac{\Delta x}{x})
ここで、t=\frac{\Delta x}{x}とすると、\Delta x \to 0のときt \to 0。
よって、
\frac{d}{dx}\log(x)=\lim_{t \to 0} \frac{1}{tx}\log(1+\frac{tx}{x})
=\lim_{t \to 0} \frac{1}{x}\log(1+t)^{\frac{1}{t}}
自然底数e=\lim_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}より、
\frac{d}{dx}\log(x)=\frac{1}{x}

途中で分からなくなったので知恵袋見た。理系だけどlogの微分できませんでした超ごめんなさい。
対数（logX）’=1/Xの微分は、どう証明するのでしょうか？ - Yahoo!知恵袋

文字列を大文字にして奇数番目のみ出力する

Ruby C

標準入力から文字列を受け取って、大文字にして奇数番目のみ出力するプログラムをCで書いた。で、ついでにRubyでも書いた。
主にプログラミング入門者向けの問題だと思ったので特に何も考えずにscanfを使っている。
普段はfgetsとかを使っているんだと弁解しておく。

annonymousでの投稿だとはてなでは連携が効かないらしい。

ベクトルの微分

数学

SVMの導出をやろうとして、ベクトルを微分する必要があったので覚え書き。

まずは単純にベクトルをスカラで偏微分。
{\mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_1\\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}}
{\frac{\partial \mathbf{a}}{\partial x}=\begin{pmatrix} \frac{\partial a_1}{\partial x}\\ \vdots \\ \frac{\partial a_i}{\partial x} \\ \vdots \\ \frac{\partial a_n}{\partial x} \end{pmatrix}}}
プレビューでは括弧がずれてるけどまあ大体分かるはず。

次にスカラをベクトルで微分。
{\frac{\partial x}{\partial\mathbf{a}}=\left(\begin{array}\frac{\partial x}{\partial a_1}\\ \vdots\\ \frac{\partial x}{\partial a_i}\\ \vdots\\ \frac{\partial x}{\partial a_n}\end{array}\right)}

行列をベクトルで微分。
前提として、行列の横のサイズはベクトルの長さと等しい。
{\mathbb{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}}
{\frac{\partial \mathbb{A}}{\partial \mathbf{x}}=\mathbb{A}\left(\begin{array}\frac{\partial}{\partial x_1}\\ \vdots \\ \frac{\partial}{\partial x_n} \end{array}\right)}
{{\frac{\partial \mathbb{A}}{\partial \mathbf{x}}=\left( \begin{array}&\dots&\\ \dots& \frac{\partial a_{ji}}{\partial x_i} & \dots \\&\dots& \end{array} \right)}

導出よりもTeXに落とし込む方が面倒。

参考